[논술 A to Z] ‘수열’ 파트 증명 문제 어떻게

골치 아픈 증명 문제, 수학적 귀납법·귀류법으로 해결해라

〈예시문제〉

두 개의 저항을 아래 왼쪽 그림과 같이 연결하는 방법을 직렬 연결이라고 하고, 오른쪽 그림과 같이 연결하는 방법을 병렬 연결이라고 한다. 크기가 R1, R2인 두 개의 저항을 직렬 연결할 때, 합성 저항 R는 각 저항의 합과 같다.

R=R1+R2

그리고 크기가 R1, R2인 두 개의 저항을 병렬 연결할 때, 합성 저항의 역수는 각 저항의 역수의 합과 같다.

1/R=1/R1 + 1/R2

아래 그림과 같이 1옴의 저항을 각 단계마다 계속해 3개씩 붙여나갈 때,

(1) 합성 저항이 감소함을 증명하고,

(2) 합성 저항의 극한값에 대하여 서술하시오. 

논술을 준비하는 데에 있어 학생들의 가장 큰 고민은 어떤 참고서를 봐야 할지 모르겠다는 것이다. 내신이나 수능 수리영역과 달리 수리논술은 교육부에서 따로 커리큘럼을 지정해주지 않아 출제범위가 고등학교 교육과정 전 범위로 너무 광범위하고, 문제 또한 대학별로 유형이 상이하여 체계적으로 정리된 참고서를 찾기가 힘들다.

하지만 아무리 대학별로 출제 범위가 광범위하고 문제 유형이 제각각이라 하더라도 기출문제들을 분석해보면 가장 많이 출제된 단원들이 존재하게 마련이다. 미적분, 수열, 확률과 통계, 공간도형과 벡터 등이 가장 빈번하게 출제된 단원들이다. 또, 단원에 관계없이 학생들이 가장 어려워하는 유형은 ‘증명’ 유형이다. 내신과 수능 수리영역을 공부하며 객관식과 단답식 문제 풀이에 익숙해져 있는 학생들은 증명하라는 문제를 만나면 쉽고 어렵고를 떠나 시작조차 못하는 학생이 대부분이다.

오늘은 ‘수열’ 파트의 증명 문제를 어떻게 풀어가야 할지 한 번 알아보자.

〈예시문제〉의 경우, 물리에서 나오는 저항을 보고는 물리학적 지식이 필요한 문제인 줄 알고 지레 겁을 먹을 수도 있으나, 실제로 문제를 푸는 과정에서 물리학적 지식은 전혀 필요가 없다.

◆수학적 표현으로 번역하기

〈예시문제〉와 같이 대부분의 수리논술 문제는 긴 글이나 그림으로 이루어져 있어 수식이 나와 있는 문제에 비해 머리에 쏙 들어오지 않는다. 또, 답안 작성 시에는 수학적 표현으로 작성해야 하는데, 처음부터 글이나 그림을 수학적 표현으로 바꾸는 연습이 잘 되어있지 않으면, 문제를 풀었다 하더라도 답안 작성에서 많은 감점을 당할 수 있다.

〈예시문제〉의 그림을 보면, 1단계, 2단계, 3단계, …. 계속해서 단계가 늘어남에 따라 어떠한 규칙에 의해 합성저항의 값이 변화되므로 합성저항의 값을 수열로 보면, 이 문제를 다음과 같이 수학적 표현으로 번역할 수 있다.

n번째 단계의 합성저항을 a(n)이라 할 때,

(1) a(n)이 감소함을 증명하여라.

(2) 을 구하여라.

여기까지는 대부분의 학생들이 어렵지 않게 도달할 수 있을 것이다. 하지만 이 문제를 풀 때 첫 번째 키포인트는 ‘1옴의 저항을 3개씩 붙여나가는 것’을 수학적 표현으로 번역하는 것이다. 한 단계가 지나갈 때마다 1옴의 저항을 3개씩 붙여 나간다는 것은 곧 n단계와 n1단계 사이의 관계식인 점화식을 구할 수 있다는 것을 의미한다. n번째 단계의 저항을 a(n)이라 했을 때, n1번째 단계의 저항 a(n+1)은 <참고도1>과 같이 구할 수 있다.

그림에서 보면, n1 단계의 합성저항은 n단계의 합성저항과 1옴의 저항을 병렬연결 한 뒤, 1옴의 저항이 앞뒤로 직렬로 연결되어 있다는 것을 알 수 있다. 제시문에서 주어진 저항의 직렬 연결과 병렬 연결에 대한 식을 이용하여 n1 단계의 합성저항을 구해보면, <참고도2>와 같다.

따라서 주어진 문제는 위와 같은 점화식을 가진 수열이 점점 감소함을 증명하고, 극한값을 구하는 문제로 수학적 표현으로 번역할 수 있다.

조홍재 아토즈 논술 수리논술 강사

◆증명 문제 풀이 방법

앞서 언급했듯이 증명 문제는 예로부터 학생들의 골머리를 썩게 만들었던 대표적인 유형의 문제이다. 증명 문제에도 다양한 유형들이 존재하기 때문에 아쉽게도 모든 증명 문제를 풀 수 있는 만능 비법은 없다. 하지만 대부분의 증명 문제들은 귀류법과 수학적 귀납법을 통해 풀 수 있다. 여기에서 증명 문제를 보고, 어떤 방법으로 풀어야 하는 문제인지 빠르게 파악하는 팁을 하나 배워보자.

대표적인 증명법 중 하나인 수학적 귀납법의 목표는 모든 n에 대해 어떠한 n에 대한 식이나 명제가 성립함을 증명하는 것이다. 수학적 귀납법은,

(1) n=1일 때 성립하고, (2) n=k일 때 성립한다 가정했을 때, n=k+1일 때 성립하면, n은 1부터 모든 자연수에서 성립한다는 것이다. 따라서 수열의 경우, n일 때의 식이나 명제가 성립함을 보이는 경우가 대다수이므로 수학적 귀납법을 통해 해결할 수 있다.

본래의 문제로 다시 돌아가보면, ‘a(n)이 감소함을 증명하여라’라고 돼 있으므로 전형적인 수학적 귀납법을 통해 풀어야하는 문제라는 것을 알 수 있다. 무엇을 통해 풀어야 하는지 찾는 것이 관건이지 수학적 귀납법으로 풀어야한다는 것을 알면, 쉽게 풀 수 있는 문제다.

수리 논술의 경우 하나의 제시문에 두세 문제의 연계 문제들이 함께 나와 있는데, 보통은 (1)번은 난도가 낮고, (2), (3)으로 갈수록 난도가 점점 높아지게 된다. 여기에서 문제 출제자들은 수리논술을 통해 진정으로 학생들의 논리적인 사고, 추리능력을 평가하기 위해 연계 문제들을 앞 문제를 이용하여 풀 수 있도록 고려하여 문제를 출제했다. 따라서 (2), (3)번 같은 뒤쪽 문제를 간단하게 그리고 잘 풀기 위해서는 반드시 이러한 사실을 염두에 두고, (1)에서 어떤 부분을 이용해 풀 수 있는지를 생각하는 것이 좋다.

위 문제에서도 수열의 극한값을 구하는 (2)번 문제를 푸는 데 있어 수열이 감소한다는 (1)의 결과가 큰 단서를 제공한다.

지금까지 빈출 단원인 수열에서 학생들이 까다로워하는 증명문제를 푸는 방법에 대해 알아보았다.

증명 문제의 경우, 처음에 어떻게 풀어야 할지 감을 잡지 못하는 학생들이 많은데, 우선적으로 문제를 풀기에 앞서서 보이고자 하는 수식이나 명제를 보고 어떠한 방법을 이용해 증명해야 하는지를 추측해보자. 만약, 자연수 n에 관련된 식으로 나타난다면, 그 문제는 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 가능성이 크다. 이 문제에서 다루지 않은 귀류법의 경우에는 직접 어떤 명제나 수식을 증명할 수 없을 때 사용하는 증명법으로 결론이 아니라고 가정했을 때, 가정이 모순이 됨을 대우(對偶)를 이용하여 추론하는 방법이다.

수능과 논술이 점점 다가오고 있다. 여름방학부터 미리 시간을 내서 공부하자.

조홍재 아토즈 논술 수리논술 강사