월드컵에서 찾아보는 수학

앞으로 12일 뒤면 2014 브라질 월드컵이 열린다. 평소 축구에 관심이 없는 사람이라도 월드컵이 열리면 대진표를 보며 경기 결과를 점치게 마련이다. 월드컵 경기 방식에는 재미있는 수학 원리가 숨어 있다. 시매쓰 수학연구소 조경희 소장은 “축구에 대한 여러 규칙을 정리하고 경기를 즐긴 후 경기장에서의 수학적 원리를 찾아 프로젝트 보고서를 작성한다면 훌륭한 나만의 포트폴리오가 될 수 있다”고 전했다. 월드컵 속 수학에 대해 알아보자.

◆리그와 토너먼트

월드컵은 본선에서 32개국이 조별 리그전을 펼친다. 월드컵 조편성은 4개팀이 1조를 이뤄 총 8개 조로 구성된다.

리그는 같은 조에 속한 각 팀이 모두 한 번씩 경기를 치러 순위를 정하는 방식이다. 한 조에는 4개팀이 있으므로 6번(A팀·B팀, A·C, A·D, B·C, B·D, C·D)의 경기가 진행되며 여기서 상위 두 팀이 16강에 진출하게 된다.

16강부터 결승까지는 토너먼트 방식이다. 토너먼트는 두 팀이 한번 겨뤄 패한 팀이 탈락하는 방식이다. 즉, 리그에서는 한 번 지더라도 다음 경기에서 만회할 기회가 있지만, 토너먼트에서는 한 번의 패배로 모든 것이 끝난다.

16강 이후 경기 횟수는 총 몇 번이 될까. 축구는 두 팀씩 경기를 하므로 우선 8번 경기가 치러진다. 여기서 이긴 8개 팀이 또 두 팀씩 묶여 경기를 하므로 4번, 이런 식으로 2번, 1번씩 경기가 진행된다. 즉, 8+4+2+1=15번이다.

이렇게도 생각할 수 있다. 토너먼트에서 한 번 진 팀은 자동 탈락이기 때문에 탈락자는 한번 경기할 때마다 한 팀만 나온다. 16강전은 16개 팀이 참가해 우승자 1팀과 탈락자 15팀이 나오므로 총 경기 횟수는 탈락팀 수와 같은 15번이 된다. 다시 말해 토너먼트 경기방식은 전체 참가 팀 수에서 1을 뺀 수가 총 경기횟수가 된다는 것을 규칙으로 설명할 수 있다.

물론 월드컵의 경우 랭킹을 위해 3, 4위전을 다시 치르기 때문에 총 경기횟수는 16번이지만, 일반적인 토너먼트 전에서는 위의 규칙이 성립된다는 것을 자연스럽게 습득할 수 있다.

2014 브라질 월드컵이 10여일 앞으로 다가왔다. 월드컵 속에도 다양한 수학 원리가 숨어 있다. 사진은 2010 남아프리카공화국 월드컵에서 우리나라 선수들이 몸을 푸는 모습.
세계일보 자료사진

◆정다면체 축구공

월드컵에서는 공식 축구공의 디자인도 관심을 끈다. 축구공에는 준정다면체의 원리가 등장한다. 준정다면체는 두 종류의 정다각형으로 이뤄져 있고, 꼭짓점에 모인 면의 개수가 모두 같은 다면체를 말한다.

보통의 축구공을 들여다보면 정오각형 12개와 정육각형 20개로 이뤄진 준정다면체라는 것을 알 수 있다. 정다면체는 중학교 1학년 과정에 나오는 개념이지만, 축구공 전개도를 만들어 축구공을 만들다 보면 초등학생도 ‘축구공은 한 꼭짓점에 2개의 정육각형과 1개의 정오각형을 붙여 만든 입체도형’이라는 것을 쉽게 터득할 수 있다. 정다면체의 구조를 알게 되는 것이다.

축구공을 만들었다면 꼭짓점과 변, 면의 수를 세어 보자. 꼭짓점은 60개, 변은 90개, 면은 32개가 있을 것이다. ‘꼭짓점의 수-변의 수+면의 수’를 계산하면 답은 2가 된다. 이것이 바로 ‘오일러의 다면체 정리’다.

조 소장은 “실제로 축구공을 만들다 보면 아이들은 면의 개수와 모양을 알게 되고, 모서리와 꼭짓점의 개수도 알게 된다”며 “입체도형에 대한 직관적 이해도도 올라간다”고 전했다.

오일러의 정리를 따라 2002 한일월드컵까지 축구공은 32조각의 도형을 이어붙여 만들어졌다.

스포츠과학자들은 선수들이 실력을 최대한 발휘할 수 있도록 축구공을 탄력 있고 가볍고 가장 구에 가까운 형태로 만들기 위해 고민한다. 그런 고민 끝에 이들은 오일러의 정리를 쓰지 않아도 훨씬 더 구형에 가까운 축구공을 만들 수 있다는 것을 발견했다. 그렇게 탄생한 것이 2006년 독일 월드컵의 공인구였던 ‘팀가이스트’다.

팀가이스트는 오일러의 공식에 맞지 않는 기하학적 모양 14개를 붙여놓은 공이다. 그 후 2010년 남아공월드컵 공인구였던 자블라니와 이번 브라질월드컵 공인구 브라주카도 각각 8개, 6개의 기하학적 모양의 조각으로 만들어졌다.

윤지로 기자 [e-mail]