[재미있는 수학교실]나뭇잎 사랑점 속에 숨은 수학원리

남녀노소를 막론하고 인간이라면 누구나 관심이 있는 것이 바로 사랑이다. 사랑 때문에 많은 사람들이 궁합이나 사주를 보기도 한다. 또 너무 어려서 사주를 볼 수 없을 때는 사랑운을 점치기도 하는데 그때 이용하는 것이 바로 아까시 나뭇잎이다.
사랑운을 점치는 아까시나무는 하얀 꽃이 탐스럽기도 할뿐더러 꽃을 빨면 나오는 꿀은 어릴 적 무엇과도 바꿀 수 없는 간식거리 중 하나였다. 특히 아까시나무의 잎은 사랑운을 점치는 도구가 되기도 했는데 한잎 한잎 따면서 ‘사랑한다… 안 한다…’를 반복하면서 사랑운을 점치기도 했다.
그런데 재미 삼아 점쳐보는 사랑운에도 수학적인 법칙이 숨어 있다. 만약 그때 아까시의 나뭇잎 개수를 유심히 세어보았다면 재미로 보는 사랑운에 수학 법칙이 있다는 사실을 알았을 것이다. 아까시 나뭇잎은 홀수개 달려 있다. 만약 마지막 잎을 따면서 ‘사랑한다’는 말을 하고 싶다면 ‘사랑한다’로 시작해야 할까, 아니면 ‘사랑 안 한다’로 시작해야 할까? 당연히 ‘사랑한다’로 시작해야 한다.
그렇다고 모든 나뭇잎을 가지고 사랑운을 점칠 때 ‘사랑한다’로 시작해야 하는 것은 아니다. 밤에는 잎을 오므리고 낮에는 활짝 펼치는 자귀나무는 나뭇잎 개수가 짝수이므로 꼭 이루고 싶은 사랑이 있다면 ‘사랑 안 한다’는 말로 시작해야 한다.
꽃잎으로 사랑운을 점치기도 하는데, 이때도 꽃잎 개수를 안다면 언제나 원하는 답을 얻을 수 있다. 꽃잎 개수 또한 짝수 아니면 홀수이며 코스모스는 꽃잎이 8장, 블루데이지는 13장이니 사랑운을 점치기 전에 반드시 개수를 세어봐야 한다.
나뭇잎과 꽃잎이 너무 뻔하다면 종이로 뫼비우스 띠를 만들어 사랑운을 점칠 수도 있다.
뫼비우스 띠란 종이띠를 한 번 꼬아(한쪽 끝을 180도 회전시켜) 붙여 만든 띠로 독일의 수학자 뫼비우스가 1865년 처음 발견했다. 꼬지 않고 만든 팔찌 모양의 띠는 겉과 안이 구분되지만 뫼비우스 띠는 안과 겉의 구별이 없다.
종이 띠를 도로라고 생각하고 한 면에 점을 찍고 그 면을 계속 따라가면, 꼬지 않고 만든 띠는 한쪽 면만 따라 돌지만 뫼비우스 띠는 양쪽 면을 모두 돌게 된다. 한 바퀴 돌면 출발점의 반대쪽 면에 도착하게 되고, 두 바퀴 돌았을 때 출발점으로 되돌아오기 때문이다.
이렇게 뫼비우스 띠는 앞면과 뒷면, 2개 면이 있는 종이띠를 이어 붙인 것이지만 면과 모서리가 각각 한개밖에 없는 독특한 성질을 갖는 도형이다. 만약 뫼비우스 띠 위에 개미가 기어간다면 끝도 없이 계속 기어 다녀야 한다.

만약 뫼비우스 띠의 가운데를 자르면 두개의 띠로 분리될 수 있을까. 실제로 잘라보면 띠가 분리되지 않고 큰 띠 한개가 만들어지는 것을 볼 수 있는데, 이렇게 만들어진 띠는 2번 꼬였기 때문에 뫼비우스 띠는 아니다. 뫼비우스 띠의 이 같은 성질을 이용하면 여러 가지 사각형을 만들 수도 있다. 일단 길이가 같은 2개의 종이띠로 한 번 꼬아 붙인 뫼비우스 띠와 그냥 이어 붙인 일반 띠를 한 개씩 만든다.
두 띠를 서로 십자 모양이 되도록 풀로 맞붙인 뒤 두 띠의 한가운데를 가위로 자르면 신기하게도 서로 분리되지 않고 한 개의 정사각형 모양의 평평한 종이띠가 된다. 즉 2개의 띠가 맞붙으면서 새로운 도형을 만들어내는 것이다.
두 띠의 색깔을 다르게 하면 마주보는 변의 색깔이 똑같은 정사각형을 얻을 수 있고, 두 개의 양면 종이띠를 이용하면 두 띠를 맞붙이는 위치에 따라 정사각형 변의 색깔을 알록달록하게 만들 수도 있다. 두 띠를 맞붙일 때 약간 어슷하게 붙이면 마름모가 되고 두 띠의 길이를 달리하면 직사각형이 된다.
만약 두 띠의 길이를 다르게 하고 붙일 때도 어슷하게 붙이면 어떤 도형이 만들어질까. 직접 확인하면 알겠지만 평행사변형이라고 추측할 수 있다.
그러면 뫼비우스 띠로 사랑운을 점쳐보자. 일단 그림 1처럼 서로 붙이는 방향이 다른 2개의 뫼비우스 띠를 만든다.
한 번은 손목을 앞쪽으로 돌려 띠를 이어붙이고, 한 번은 손목을 뒤쪽으로 돌려 띠를 이어 붙인다.(그림 2) 만든 두 개의 뫼비우스 띠를 십자 모양이 되도록 붙인 후 두 띠의 한가운데를 모두 가위로 자른다.(그림 3∼4)
만약 하트 모양의 띠 2개가 서로 얽혀 있다면(그림 5) 사랑운이 좋은 것이고, 두 개의 띠가 서로 떨어져 버린다면 아쉽게도 아직 사랑을 하기엔 이르다고 생각하면 된다. 하지만 수학 법칙을 잘 생각해 뫼비우스의 띠 방향을 서로 반대가 되도록 잘 꼬아 붙인다면 언제나 서로 다정하게 얽힌 하트를 만들 수 있다. 꼬인 방향이 다른 띠가 만나 하트 모양으로 얽히듯이 수학을 통해 사랑과 우정을 쌓아갈 수도 있다.
/정미자 신림고 수학교사